Como pensar como um algebrista

Eu olho para um problema de Teoria dos Grupos dado a jovens de 18 anos para demonstrar conceitos de estrutura algébrica

Se fosse um entusiasta e talentoso estudante de matemática do ensino secundário no Reino Unido em 1988, teria estudado Teoria dos Grupos elementar como parte do seu currículo de Nível Avançado (A-level). Infelizmente, já não é esse o caso. Há vários anos atrás, a Teoria dos Grupos foi retirada do currículo do nível A e agora só está disponível para aqueles que estão a tirar cursos de licenciatura em disciplinas relacionadas com a matemática.

Isto é triste, porque a Teoria dos Grupos é uma óptima introdução à forma de pensar como um algebrista. Esta forma de pensar permite-lhe lidar com objectos discretos e abstractos de uma forma organizada e sistemática, uma capacidade que é essencial para o estudo da matemática avançada, e que eu achei extremamente útil na vida em geral. É necessário habituar-se a pensar desta forma e aqueles que já o fizeram um pouco na escola irão provavelmente adaptar-se mais rapidamente se continuarem a estudar matemática a nível universitário.

Deparei-me com este problema num exame de admissão a Cambridge em 1988 e penso que ilustra bem o que quero dizer. Se conseguir pensar neste problema de uma forma devidamente ordenada e lógica, a solução é limpa, arrumada e muito elegante. Mas sem qualquer formação em como pensar como um algebrista, terá dificuldade em atacar este problema.

Antes de apresentar o problema, deixe-me apresentar-lhe um pouco da pequena quantidade de teoria de grupos que os alunos do ensino secundário costumavam aprender nos velhos tempos 😊

O que é um grupo?

Um grupo é uma maneira de abstrair e generalizar algumas estruturas comuns que vemos na matemática. Como um exemplo simples, vamos pegar o conjunto de números inteiros e vamos olhar para a operação de adição sobre este conjunto. Existem algumas propriedades destes números inteiros e desta operação que tomamos por garantidas mas que são essenciais para o seu funcionamento e para a sua utilidade. Eis as propriedades:

1. Os números inteiros são fechado O seu nome é um número de telefone, que pode ser usado para adicionar dois números inteiros quaisquer.
2. Os números inteiros são associativos em adição, o que significa que se tiver três números inteiros a, b e c, então a + (b + c) =…